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不確定性関係

1998年5月11日 00:00

量子力学における位置と運動量についての誤差の関係を表している。 かなり有名であるが、同時に誤解を含むことも多い。 あくまでも量子力学における2物理量の関係に過ぎない。

波動関数をΨ、物理量をA、Bとする。
一般にAとBの誤差といわれるものはAとAの平均の差であらわす よって、状態ΨにおけるAとBの誤差の積は次のように書ける。

⊿A2⊿B2
<Ψ|(A-<A>)2|Ψ><Ψ|(B-<B>)2|Ψ>

この式には次ぎのような大小関係が一般に成立する。
<Ψ|(A-<A>)2|Ψ><Ψ|(B-<B>)2|Ψ>

|(<Ψ|(A-<A>))((B-<B>)|Ψ>)|2

(1/4)|<AΨ|BΨ>-<BΨ|AΨ>|2

詳しい説明は省くが、このとき、AとBが位置と運動量の場合 次ぎのように変換できる

(1/4)|<Ψ|AB-BA|Ψ>|2
さらにAB-BA=ih
なので
h2/4

まとめると
⊿A⊿B≧h/2

このように、一切の物理的描像や解釈を抜きにしてこのような関係が導出される。言いかえると、われわれは量子力学において二つの物理量を同時に正確に把握する事はできない。量子力学をわれわれが受け入れた時点で、その解釈とは別にこの関係が成立している。
その上で、量子力学の解釈が必要となってくる。 世界が量子力学が描いたようになっているのか、それとも量子力学が不完全なのか。 波動関数が単一の粒子の記述なのかそれとも粒子の統計的性質を記述しているのか。 様々な解釈が可能である。

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